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L'ultimo teorema di Fermat, dimostrato Andrew Wiles nel 1995 ma in maniera molto complessa, la congettura di Catalan (la differenza di due potenze non può mai essere pari a 1 tranne nel caso 32 - 23 = 1), provata da Mihailescu proprio facendo uso della congettura ABC, sono alcune delle questioni matematiche aperte che avrebbero una soluzione come conseguenza diretta della prova della veridicità della congettura ABC.
Le triplette ABC:
Una tripletta ABC è un insieme di numeri interi positivi a, b, c tali che:
a+b=c (dove per convenzione a
a, b, c non hanno nessun divisore comune > 1
c > rad(abc) (dove con rad si indica il radicale di abc, ovvero il prodotto dei numeri primi distinti in cui si scompone ognuno dei numeri a, b,c)
Facciamo un esempio con a=1, b=8, c=9
1 < 8 < 9
1 + 8 = 9
scomponendo in numeri primi a,b e c si ottiene:
a = 1
b = 2 x 2 x 2
c = 3 x 3
è quindi evidente che a,b,c non hanno alcun divisore comune, cioè non c'è nessun numero maggiore di 1 per il quale possano essere divisi tutti e 3 i numeri della tripletta (il che, per inciso, non significa che a,b,c debbano per forza essere numeri primi)
rad(1,8,9) = 1 x 2 x 3 = 6
ora verifichiamo l'ultima condizione della tripletta:
c = 9 > rad(1,8,9) = 6
La conclusione è che (a,b,c) = (1,8,9) è una tripletta ABC
E' facilmente verificabile come ad esempio (9,16,25) non sia una tripletta ABC mentre (1,63,64) lo sia.
Quante sono le triplette ABC: le triplette ABC non sono così comuni; se si prendono 3 numeri primi a caso è improbabile che compongano una tripletta ABC. Ve ne sono 15 con con=1.
La "qualità" di una tripletta ABC: è stato introdotto un parametro che misura la qualità "q" delle triplette. E' stato definito come l'esponente a cui si deve elevare il radicale di (a,b,c) per ottenere "c":
rad q = c
o, in termini logaritmici:
q = log(c) / log(rad)
In pratica dato che "c" deve essere sempre più grande del rad(a,b,c) allora avremo sempre q>1 ma più è piccolo il radicale rispetto a "c" e maggiore sarà la qualità della tripletta (ad es. se rad=2 e c=4 allora q=2, se rad=2 e c=8 allora q=3 e la qualità aumenta).
Nell'esempio di prima la qualità della tripletta (1,8,9) è:
q = log(9) / log(6) = 1.22629
La congettura ABC:
Vi sono due diverse versioni della congettura ABC, una generica e una restrittiva. Se viene provata quella più restrittiva allora anche quella generica è vera.
La versione generica dice che esiste un numero "g" tale per cui la qualità delle triplette sarà sempre inferiore a "g". Sino ad ora non sono state trovate triplette con q>1,63 quindi potrebbe darsi che g=1,63 ma la ricerca non è ancora terminata.
La versione restrittiva dice che dato un qualsiasi numero reale h > 1 tutte le triplette ABC avranno qh dove "h" è un qualsiasi numero reale maggiore di 1.
La versione generica dice che esiste un numero "g" tale per cui la qualità delle triplette sarà sempre inferiore a "g". Sino ad ora non sono state trovate triplette con q>1,63 quindi potrebbe darsi che g=1,63 ma la ricerca non è ancora terminata.
La versione restrittiva dice che dato un qualsiasi numero reale h > 1 tutte le triplette ABC avranno qh dove "h" è un qualsiasi numero reale maggiore di 1.
La figura mostra il numero di triplette ABC trovate sino ad ora con qualità maggiore di un dato valore S=1+q/200, riportato in ascissa (asse orizzontale). Guardando il grafico è ragionevole pensare che non vi siano triplette ABC con q>200 ovvero S>2.
Maggiori informazioni (in inglese) sui problemi che restano insoluti e sulle conseguenze della ricerca di ABC@home, oltre che sull'algoritmo utilizzato si trovano sul sito del progetto.