Valutazione attuale: 0 / 5

Stella inattivaStella inattivaStella inattivaStella inattivaStella inattiva
 
Flag NumberFields

 

AMBITO: Matematica
STATO:  ATTIVO 
VOTO: ( N.P. )

 

NumberFields@home fa delle ricerche su campi numerici con proprietà speciali. Il progetto ha sede alla School of mathematics dell'Università Statale dell'Arizona.

 

Scopo del progetto
I campi sono importanti costrutti matematici che hanno applicazioni di vasta portata in molti rami della matematica: molte persone hanno familiarità con i campi dei numeri razionali, dei numeri reali e dei numeri complessi. I campi di cui ci occupiamo in questo progetto sono campi numerici: sottoinsiemi dei numeri complessi che contengono la radice di un dato polinomio e sono minimi per poi essere racchiusi in addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (eccetto per divisione per 0). In particolare, siamo interessati a campi di grado 10 imprimitivi (detti campi decic), che corrispondono a certi polinomi di grado 10. L'elaborazione di campi di livello inferiore richiede una minore potenza di elaborazione ed è stata più dettagliata. Il caso di grado 10 è il primo caso che richiede una soluzione massicciamente parallela, e quindi la ragione per implementare un progetto BOINC.  
Un modo per classificare i campi è dato dai numeri primi che si ramificano in essi: per un determinato insieme di numeri primi, il numero di campi ramificati su quei numeri primi è finito. L'obiettivo principale del progetto è trovare questo insieme finito di campi per vari insiemi di numeri primi. Poiché il numero di combinazioni di numeri primi è illimitato, il progetto rimarrà a tempo indeterminato per il prossimo futuro.
Un altro modo per classificare i campi è il loro discriminante, che è un invariante importante per un campo. Dato un vincolo fisso B, c'è solo un numero finito di campi il cui discriminante è inferiore a questo limite. Un obiettivo secondario del progetto è determinare l'insieme finito di "discriminanti minimi" per campi decic imprimitivi secondo il vincolo B=1.2×1011
Abbiamo scelto questo limite perché è possibile trovare più campi mantenendo il carico di calcolo gestibile.

Applicazioni del progetto
Il progetto nel suo complesso è ricerca di base e, in effetti, traccia il territorio sconosciuto. In futuro, questo potrebbe influire su una serie di domande.

Forme automorfe
La teoria delle forme automorfe è un importante problema in matematica: forniscono un lato del programma Langlands, una serie di congetture radicali nella teoria dei numeri. Vi sono connessioni profonde tra forme automorfe e campi numerici e la conoscenza di una forma automorfica fornirà informazioni sui primi ramificanti dei corrispondenti campi numerici.
Per esempio, studiando le forme automorfe sopra Q(i)
, un ricercatore voleva dimostrare che non c'erano forme automorfe di un certo tipo. Il problema è stato riformulato in una dichiarazione sui campi numerici, riassunta nella seguente dichiarazione.
Non c’è una estensione quintica L di Q(i) che soddisfi:
1. Gal(Lg/Q(i))=A5
(dove Lg è la chiusura di Galois di L ),
*  L è non l’uscita non ramificata di S={2,5}
*  e dL divide 214515

Usando la tabella dei campi decic sopra Q(i), questa affermazione è risultata vera. (Si noti che il progetto sta ancora completando la ricerca su Q(i), ma il limite discriminante era abbastanza piccolo che la parte precedente della ricerca era sufficiente per determinare la verità della dichiarazione).
 
Crittografia
I campi numerici sono usati in alcuni moderni algoritmi di factoring che sono rilevanti per gli attacchi su RSA. Altri ricercatori hanno studiato le proprietà dei campi numerici come base per i nuovi sistemi crittografici. Non è chiaro quali campi numerici saranno utili in questa ricerca, ma più conosciamo il panorama generale dei campi numerici, meglio è.
 
Statistica aritmetica
Negli ultimi anni ci sono stati sia progressi che nuove congetture su domande asintotiche riguardanti i campi numerici. Se qualcuno fissa il grado n e ha un B legato, ci sono molti campi numerici di grado n con un discriminante assoluto minore o uguale a B: ci si può chiedere, quindi, se (e come) questo conteggio cresca come una funzione di B.
Recentemente, i ricercatori hanno preso in considerazione il gruppo di Galois dell'estensione. Al momento, ci sono pochissimi dati in grado 10, e i campi imprimitivi producono un gran numero di diversi gruppi di Galois.
Ci si può anche chiedere come siano gli asintoti basati sull’insieme dei primi di ramificazione, dal momento che ci sono ancora meno dati attualmente disponibili per indagare su problemi di questo tipo.
Prima di poter prendere seriamente in considerazione asintoti, è utile sapere dove si trovano i primi esempi. Questo progetto ha contribuito a stabilire i primi esempi di campi di numeri decimali non primitivi con alcuni gruppi di Galois. Si possono anche considerare i "primi esempi" da un'altra prospettiva, cioè dal discriminante di radice di Galois (GRD) del campo. Calcoliamo il GRD dei campi trovati qui, cercando i campi con un GRD particolarmente piccolo. Alcuni risultati dai campi per GRD basso possono essere trovati qui.
 
Fisica teorica
I campi interessati da questo progetto hanno connessioni ai campi p-adici: negli ultimi anni, l'analisi p-adica è stata applicata a problemi di fisica teorica, tra cui la meccanica quantistica e la teoria delle stringhe. Here una buona introduzione ai concetti principali. E’ troppo presto per dire esattamente che benefici porteranno le nostre tavole alla comunità dei fisici, ma alcuni risultati preliminari sono interessanti.

Dettagli dell’algoritmo
I campi di estensione finiti sono rappresentati da polinomi (per esempio nella formaQ(α)
dove  α è la radice di un polinomio). I limiti sul discriminante del campo danno origine ai coefficienti polinomiali, quindi esiste un numero finito di possibili polinomi che possono rappresentare i campi che stiamo cercando. Al livello più elementare, l'algoritmo ricerca in questo insieme finito di polinomi, controllando se un polinomio può rappresentare o meno un campo con le proprietà discriminanti e con ramificazione desiderate. Ad un livello più raffinato, l'algoritmo utilizza alcuni argomenti teorici complicati per ridurre lo spazio di ricerca polinomiale. Inoltre, la struttura di ramificazione “mirata” dà origine a relazioni di congruenza sui coefficienti polinomiali, cosa che riduce ulteriormente lo spazio di ricerca. Chiunque sia interessato ai dettagli, può leggere la dissertazione del responsabile del progetto.

Per ulteriori informazioni visitate il thread ufficiale presente nel nostro forum.



Per commentare questo post nel forum devi effettuare il login

Articoli

Written on 11/02/2019, 11:13 by boboviz
boinc-workshop-2019Anche quest'anno si terrà il Boinc Workshop, dal 9 al 12 Luglio a Chicago. La partecipazione è libera e gratuita.

Ultime dal Blog

Written on 19/06/2017, 14:38 by boboviz
addio-lugano-bellaCari sodali scaccolatori,come alcuni di voi sanno, il sottoscritto, oltre ad essere appassionato di Boinc, è anche "appassionato" di HPC e, visto che il...