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Il teorema dimostrato da Bartel Leendert van der Waerden nel 1927 riguarda la presenza di progressioni aritmetiche contenute in insiemi di interi. Dati due interi r e k, può essere espresso in varie forme equivalenti:

• data una successione infinita e crescente di interi tali che la differenza tra termini successivi sia minore di r, la successione contiene una progressione aritmetica di lunghezza k;
• esiste un intero g(k, r), tale che una successione crescente di g(k, r) interi con differenza tra termini successivi non superiore a r contiene una progressione aritmetica di lunghezza k;
• se l’unione di r insiemi contiene tutti gli interi positivi, almeno uno degli insiemi contiene una progressione aritmetica di lunghezza k (congettura di Baudet);
• esiste un intero W(r, k), tale che se l’unione di r insiemi contiene tutti gli interi da 1 a W(r, k), almeno un insieme contiene una progressione aritmetica di lunghezza k

Nel caso dell’ultima formulazione il teorema dice che se suddividiamo gli interi da 1 a W(r, k) in r insiemi (non necessariamente disgiunti), almeno un insieme contiene una progressione aritmetica di lunghezza k. I numeri W(r, k) sono noti come “numeri di van der Waerden”. Sebbene Saharon Shelah abbia mostrato che sono computabili tramite una funzione primitiva ricorsiva, non si conosce una formula generale per calcolarli e i loro valori sono noti in pochissimi casi.